Что такое математике
К таким выводам пришли ученые из Университета Дьюка в США, которые сумели доказать это в исследовании , опубликованном в журнале «Клиническая психология» в году. Лобачевский — и Я. Развитие исчисления. Математик сегодня — тот, кто знает доказательство хотя бы одной из теорем Гельфанда. Последние записи в блоге Forum.
Так делали и гарпедонапты, однако внутренность измеряемого участка могла быть недоступна: попытка натягивать веревки внутри чужого участка — это покушение на частную собственность. В геометрии древних основные объекты выпуклы как результаты обмера веревкой участков, граница которых выделена колышками. Измерение — сведение к числу, предок анализа. Основные числовые величины геометрии — периметр и площадь выпуклых многогранников и комбинаций и частей простейших выпуклых фигур типа шаров или луночек.
Теоретическая геометрия древних изучала свойства конкретных выпуклых фигур. Основная задача прикладной геометрии — построения циркулем и линейкой. Найти — значит построить. В то время нет ни общей идеи переменной величины, ни задачи о поиске наилучшей формы, ни особой роли теорем существования и единственности.
Изопериметрия живет как свойство шаров, правильных многогранников и т. Выпуклое множество в общем положении — решение системы линейных неравенств, т.
Так мы понимаем это сегодня, не задумываясь о новизне такого понимания — это продукт времен Фурье. Главные идеи здесь принадлежат Гильберту и Минковскому. Гильберт объединил греческую геометрию и теорию множеств Кантора. Минковский синтезировал абстрактную теорию чисел и наглядную геометрию, расширив понятие метрической функции. Пуанкаре, Гильберт и Эйнштейн объединили идеи новой физики и геометрии.
Возник функциональный анализ, немыслимый без выпуклых тел и трансфинитных концептов. Древние понимали особый статут начала счета. Для того чтобы перечислять, надо обособить перечисляемые сущности и только потом сопоставить их с символическим рядом числительных. Мы приступаем к счету тем, что «многое делаем единым».
Особая роль акта начала счета нашла отражение в почти тысячелетнем диспуте о том, считать единицу или монаду натуральным числом или нет.
Сейчас нам кажется чрезмерной особая щепетильность в выделении специальной роли единицы-монады. Между тем так было далеко не всегда. Монады Лейбница, флюксии и флюэнты Ньютона — продукты героической эпохи телескопа и микроскопа. Универсум фон Неймана, возникший в середине ХХ века, реализует пифагорейский тезис «все есть число». Измерение бесконечности числом — суть гениальных работ Кантора. В центре математики начала XX века первым стоял финитизм Гильберта и лишь вторым его доклад.
Только после теорем Геделя ушла иллюзия скорого наведения порядка в основаниях. Понимание некатегоричности мышления укрепилось и дало всходы новых дисциплин, свободно использующих якобы туманные средства выбора, континуума, неистребимой неполноты. История неевклидовой геометрии имеет массу недомолвок, передержек и искажений в связи с ролью Германии в развязывании двух мировых войн.
Интерес к проблематике подлинной геометрии пространства у Гаусса и его друга Больяи-старшего восходит к Аврааму Кестнеру, почти неизвестному в России выдающемуся ученому и литератору Германии. Гаусс владел дифференциальной геометрией, ибо создал ее, и поэтому отрицательная гауссова кривизна для него была менее, чем загадкой.
Попытки изобразить Гаусса завистником Яноша Больяи или Лобачевского — политические искажения. Гаусс поддерживал с вершин своего гения молодые таланты — сына своего приятеля и талантливого русского.
При всем при том Лобачевский — гордость русской науки и его имя сохраняется в математике вполне заслуженно. Геометрию интересуют как качественные, так и количественные свойства пространственных форм и отношений. Примеры качественных геометрических знаний дают признаки равенства треугольников.
Нахождение площадей, длин и объемов — образцы количественных исследований. Выдающимся открытием евклидовой геометрии стала несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Наука впервые столкнулась с проблемой исчисления континуума в глубокой древности. Обнаружив отсутствие общей меры у стороны и диагонали квадрата, наши предки выяснили, что рациональных чисел недостаточно для практических измерений.
Полезно помнить, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Рациональные числа заполняют счетное множество, то есть служат разновидностью того же кардинального числа, которым мы сегодня характеризуем запас элементов натурального ряда.
Наидревнейшая идея потенциальной бесконечности в форме последовательно продолжающегося счета оказалась недостаточной для количественного анализа в геометрии. Открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата такая же высочайшая вершина математики, как независимость пятого постулата, аксиомы выбора или гипотезы континуума. Лейбниц и Ньютон открыли одинаковые формулы, часть из которых была известна и до них. Как Лейбниц, так и Ньютон обладали своим особым приоритетом в создании дифференциального и интегрального исчисления.
Дело в том, что эти ученые предлагали варианты математического анализа, основанные на принципиально различных подходах. Лейбниц строил анализ на актуальных бесконечно малых, а у Ньютона центральную роль играл «метод первых и последних отношений».
Судьба все расставляет на свои места — механистические идеи Ньютона заняли почетное место в залах второго ряда истории естествознания, уступив центральную анфиладу воззрениям Эйнштейна.
Научный оптимизм Лейбница, его мечта о calculemus и вера в лучший из миров становятся все более и более востребованными. Удивительно — умерший бюрократом и лжеученым, окруженным почетом льстецов, Ньютон уступает место в умах людей несчастному оплеванному Лейбницу, на похороны которого пришло два человека. Ньютон — последний ученый-маг. Лейбниц — первый математический мечтатель.
Дифференциальное исчисление начиналось как техника конечных разностей — на дискретный инфинитезимальный каркас была натянута непрерывная оболочка. Тезис Евклида об отсутствии царских путей в математику относится и к компьютеру. Компьютер не грейдер, а внедорожник. Видеть общее в разном — значит обобщать.
Решение «приличного» линейного уравнения не всегда есть правая часть уравнения. Хотя это всегда так с точностью до изоморфизма. Математика — дело важное, но научное. Первично у каждого — человеческое. Человек много шире своей социальной роли. Пушкин, Ахматова и Пастернак больше своей поэзии в той же мере, в какой Лузин, Колмогоров и Арнольд больше своей математики. Математики, как показывает время, обречены на забвение. Евклида и Ньютона ученые ценят, но почти никто из представителей точного знания их не читает.
Нематематики в большинстве забыли Минковского, Пуанкаре и Гильберта, ибо математику не так понимают как математики. Ряд и уравнение — близкие метаматематические понятия. Уравнение — равенство с вопросом, а ряд — последовательность с вопросом.
Терминологические нюансы существенны, ибо отражают повороты истории. Так, в теории меры отсутствует понятие соизмеримости, ключевое в античные времена. В математике есть и теория линейных уравнений и теория линейных неравенств, а теории линейных равенств нет. Теория линейных уравнений не является частным случаем теории линейных неравенств хотя бы потому, что не каждое равенство есть толкование какого-либо набора неравенств.
Неравенство — первичный феномен бытия. Равенство исторически вторично, вопреки лингвистике. Математика гораздо менее философична, чем представляется философам. Она связана с простейшими формами сознаниями и далеко не всегда с формализмами. Скажем, Рамануджана никакие формализмы не интересовали, как и всю автохтонную индийскую математику.
Понять как и что — это одно, а доказать — совсем другое. Тезис Бурбаки о тождественности доказательства и математики имеет весьма ограниченное значение в современном существовании математики. Бездоказательная — экспериментальная и познавательная — математика вездесуща и никакой философской или формальной истиной не оперирует. Знание превалирует над доказательством и пониманием.
Математика не состоит в выводе следствий из аксиом, то есть не является теорией в формальном смысле математической логики. Математика не аксиоматическая система и никогда таковой не была. Индийская математика включая Рамануджана — яркое тому свидетельство. Нет ничего аксиоматического ни у Эйлера, ни у Коши. Математика во многом гуманитарная наука. Наверное, простейшая и наиболее защищенная от субъективизма из неэкспериментальных, умозрительных наук и потому царица гуманитарного знания.
У людей нет другого знания, кроме гуманитарного Аксиоматический метод — своего рода несложная логическая гигиена.
Но этот метод не всесилен и всегда надстройка над имеющимся знанием. Формулы Эйлера не продукты вывода чего-то из аксиом, а результат человеческого понимания, лишенного какого-либо субъективного элемента. Объективное исследование субъективных абстракций человека в наиболее рафинированной из доступных субъекту форм — вот что такое математика.
Математика занята формами мышления, а экономика — кошелками и кошельками. Все знают, что математика ум в порядок приводит. Менее известно, что математику в порядок приводит ум. Первично мышление, математическое в мышлении вторично. Математический дар — очень малый ресурс жизни. Между наукой и властью лежит пропасть отчуждения. Власть противостоит свободе, составляющей сущность как математики, так и науки в целом. Математика не сводится ни к финитизму, ни к интуиционизму, ни к дескрипции.
Она не категорична, она свободна. У математики врожденный иммунитет к лженауке. Математика заслужила доверие людей, а социологии до этого еще далеко.
В математике плагиат в чистом виде такая редкая вещь, что с ней столкнуться можно пару раз за десятки лет. В математике этические нормы размываются иначе — ликвидируют должные ссылки на соавторов при переиздании сочинений, защищают неверные работы угодных людей и проваливают неугодных, имитируют результаты и т. Строгая форма научных публикаций в математике предохраняет ее от плагиата. Решение проблемы континуума ведет к освобождению математики от догматизма и категоричности.
Считается, что математические объекты полностью определены аксиомами, используемыми в теории этих объектов; или, по словам Пуанкаре, аксиомы служат «замаскированными определениями» тех объектов, к которым они относятся.
Хотя теоретически возможно существование любых аксиом до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом. Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы.
Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории. Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами.
Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает. В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической «структурой».
Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни. Если книга открыта на й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации — в виде температуры или номеров страниц.
Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи. В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов.
Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов — теории групп см.
Группой называется набор или «множество» объектов G , на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a , b из G , взятым в указанном порядке первым — элемент a , вторым — элемент b , третий элемент c из G по строго определенному правилу. Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям:. Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них независимые от каких-либо других аксиом или теорем в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп.
Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики. Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых. Свойства 1 , 2 , 3 следуют из аксиом арифметики. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. Нетрудно проверить, что свойства 1 — 3 выполняются, а единичным элементом служит число 0.
В результате получим табл. Легко проверить, что свойства 1 — 3 выполняются, а единичным элементом служит 1. Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее «естественное» расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования. Например, если , , то. При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит , а элемент, обратный к S , получается при замене стрелок в определении S на противоположные; например, если , то.
Группа из примера d является частным случаем т. Предыдущие примеры показывают, насколько разнообразной может быть природа объектов, образующих группу.
Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу вот пример неполноты знания!
В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением. Еще один пример структуры — т.
Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е , но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 1 R a , a истинно для каждого а , принадлежащего Е ;. Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа.
Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны. С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных — понятие изоморфизма.
Вспомним пример групп b и c , приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа. Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто «технической», так и с философской и методологической точек зрения.
Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической «техники». Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями.
Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой. Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например «теория поля классов» в теории чисел, главная цель которых — доказательство изоморфизма структур.
С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики — то обстоятельство, что «природа» математических «объектов» не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами разновидность принципа неполноты знания. Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики.
До середины 19 в. Арифметика или теория чисел имела дело с целыми числами, геометрия — с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название «математический анализ», включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел.
Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных , дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т. Для многих современных математиков такой подход напоминает историю классификации первыми натуралистами животных: когда-то и морская черепаха, и тунец считались рыбами, поскольку обитали в воде и имели сходные черты.
Современный подход научил нас видеть не только то, что лежит на поверхности, но и заглядывать глубже и пытаться распознать фундаментальные структуры, лежащие за обманчивой внешностью математических объектов.
С этой точки зрения, значение имеет исследование наиболее важных типов структур. Вряд ли в нашем распоряжении имеется полный и окончательный список этих типов; некоторые из них были открыты в последние 20 лет, и есть все основания ожидать в будущем новых открытий.
Однако мы уже имеем представление о многих основных «абстрактных» типах структур. Они «абстрактны» по сравнению с «классическими» объектами математики, хотя и те вряд ли можно назвать «конкретными»; дело скорее в степени абстракции. Известные структуры можно классифицировать по входящим в них отношениям или по их сложности.
С одной стороны, существует обширный блок «алгебраических» структур, частным случаем которых является, например, групповая структура; среди других алгебраических структур назовем кольца и поля см. Раздел математики, занимающийся изучением алгебраических структур, получил название «современной алгебры» или «абстрактной алгебры», в отличие от обычной, или классической, алгебры. Значительная часть евклидовой геометрии, неевклидова геометрия и аналитическая геометрия также вошли в состав новой алгебры.
На том же уровне общности находятся два других блока структур. Один из них, называемый общей топологией, включает в себя теории типов структур, частным случаем которых является структура метрического пространства см. Третий блок составляют теории структур порядка и их расширений. Из этих трех блоков два последних до недавнего времени находились в сравнительно стабильном состоянии, а блок «современная алгебра» стремительно разрастался, подчас в неожиданных направлениях например, получила развитие целая отрасль, получившая название «гомологической алгебры».
За пределами т. Было изучено множество таких комбинаций, большинство из которых распадаются на два обширных блока — «топологическую алгебру» и «алгебраическую топологию». Вместе взятые, эти блоки составляют весьма солидную по объему «абстрактную» область науки.
Многие математики надеются с помощью новых средств лучше понять классические теории и решить трудные проблемы. Действительно, при соответствующем уровне абстрагирования и обобщения задачи древних могут предстать в новом свете, что позволит найти их решения. Огромные фрагменты классического материала оказались под властью новой математики и были преобразованы или слились с другими теориями. Остаются обширные области, в которых современные методы приникли не столь глубоко.
Примерами могут служить теория дифференциальных уравнений и значительная часть теории чисел. Весьма вероятно, что существенный прогресс в этих областях будет достигнут после того, как будут открыты и тщательно изучены новые типы структур.
Еще древние греки отчетливо понимали, что математическая теория должна быть свободна от противоречий. Это означает, что невозможно вывести как логическое следствие из аксиом утверждение Р и его отрицание не- P. Однако, поскольку считалось, что математические объекты имеют соответствия в реальном мире, а аксиомы являются «идеализациями» законов природы, ни у кого не возникало сомнений в непротиворечивости математики.
При переходе от классической математики к математике современной проблема непротиворечивости приобрела иной смысл. Свобода выбора аксиом любой математической теории должна быть заведомо ограничена условием непротиворечивости, но можно ли быть уверенным в том, что это условие окажется выполненным?
Мы уже упоминали о понятии множества. Это понятие всегда использовалось более или менее явно в математике и логике. Во второй половине 19 в. Начиная с античности и вплоть до 19 в.
Эти опасения носили отчасти метафизический характер, а отчасти были вызваны трудностями, связанными с понятием измерения величин например, длины или времени. Устранить эти трудности удалось только после того, как в 19 в. К все страхи были развеяны, и казалось, что математика покоится на незыблемом фундаменте теории множеств. Но в следующее десятилетие возникли новые аргументы, которые, по-видимому, показывали внутреннюю противоречивость теории множеств и всей остальной математики.
Новые парадоксы были очень простыми. Первый из них — парадокс Рассела — можно рассмотреть в простой версии, известной под названием «парадокс брадобрея». В некотором городке брадобрей бреет всех жителей, которые не бреются сами. Кто бреет самого брадобрея? Если брадобрей бреется сам, то он бреет не только тех жителей, которые не бреются сами, но и одного жителя, который бреется сам; если же он сам не бреется, то он не бреет всех жителей городка, которые не бреются сами.
Парадокс этого типа возникает всякий раз, когда рассматривается понятие «множество всех множеств». Хотя этот математический объект кажется весьма естественным, рассуждения о нем быстро приводят к противоречиям. Еще более показателен парадокс Берри. Рассмотрим множество всех русских фраз, содержащих не более семнадцати слов; число слов русского языка конечно, поэтому конечно и число таких фраз.
Выберем среди них такие, которые однозначно задают какое-нибудь целое число, например: «Наибольшее нечетное число, меньшее десяти». Число таких фраз также конечно; следовательно, конечно и множество определяемых ими целых чисел. Обозначим конечное множество этих чисел через D. Из аксиом арифметики следует, что существуют целые числа, не принадлежащие D , и что среди этих чисел существует наименьшее число n. Это число n однозначно определяется фразой: «Наименьшее целое число, которое не может быть определено фразой, состоящей не более чем из семнадцати русских слов».
Но эта фраза содержит ровно семнадцать слов. Следовательно, она определяет число n , которое должно принадлежать D , и мы приходим к парадоксальному противоречию. Шок, вызванный парадоксами теории множеств, породил самые различные реакции. Некоторые математики были настроены весьма решительно и высказывали мнение, что математика с самого начала развивалась в неверном направлении и должна базироваться на совершенно другом фундаменте.
Описать точку зрения подобных «интуиционистов» как они стали себя называть сколько-нибудь точно не представляется возможным, так как они отказывались сводить свои взгляды к чисто логической схеме.
С точки зрения интуиционистов, неправильно применять логические процессы к интуитивно непредставимым объектам. Единственными интуитивно ясными объектами, являются натуральные числа 1, 2, 3, Но даже к таким объектам интуиционисты не разрешали применять все дедукции классической логики.
Например, они не признавали, что для любого утверждения Р истинно либо Р , либо не- Р. Располагая столь ограниченными средствами, они легко избегали «парадоксов», но при этом выбрасывали за борт не только всю современную математику, но и значительную часть результатов классической математики, а для тех, чтоеще оставались, необходимо было найти новые, более сложные доказательства. Подавляющее большинство современных математиков не согласились с доводами интуиционистов.
Математики-неинтуиционисты заметили, что аргументы, применяемые в парадоксах, значительно отличаются от тех, что используются в обычной математической работе с теорией множеств, и поэтому следовало бы исключить такого рода аргументы как незаконные, не подвергая риску существующие математические теории. Другое наблюдение заключалось в том, что в «наивной» теории множеств, существовавшей до появления «парадоксов», не подвергался сомнению смысл терминов «множество», «свойство», «отношение» — подобно тому как в классической геометрии не подвергался сомнению «интуитивный» характер обычных геометрических понятий.
Следовательно, можно действовать так же, как это было в геометрии, а именно отбросить все попытки обращения к «интуиции» и принять за исходный пункт теории множеств систему точно сформулированных аксиом.
Однако неочевидно, каким образом можно лишить такие слова, как «свойство» или «отношение», их обычного смысла; между тем это необходимо сделать, если мы желаем исключить такие рассуждения, как парадокс Берри. Метод состоит в воздержании от использования обыденного языка при формулировке аксиом или теорем; только предложения, построенные в соответствии с явной системой жестких правил, допускаются в качестве «свойств» или «отношений» в математике и входят в формулировку аксиом.
Математиков, отвергавших методы, предложенные интуиционистами, стали называть «формалистами». Однако на исходный вопрос так и не было дано ответа. Свободна ли от противоречий «аксиоматическая теория множеств»? Новые попытки доказательств непротиворечивости «формализованных» теорий были предприняты в х годах Д. Гильбертом — и его школой и получили название «метаматематики». По существу, метаматематика представляет собой раздел «прикладной математики», где объектами, к которым применяются математические рассуждения, являются предложения формализованной теории и их расположение внутри доказательств.
Эти предложения надлежит рассматривать лишь как материальные комбинации символов, производимые по некоторым установленным правилам, без каких бы то ни было ссылок на возможный «смысл» этих символов если таковой существует. Хорошей аналогией может служить игра в шахматы: символы соответствуют фигурам, предложения — различным позициям на доске, а логические выводы — правилам передвижения фигур. Однако можно возразить против использования математических аргументов в «метаматематическом» доказательстве непротиворечивости математической теории; если бы математика была противоречивой, то математические аргументы утратили бы всякую силу, и мы бы оказались в ситуции порочного круга.
Чтобы ответить на эти возражения, Гильберт допустил к использованию в метаматематике весьма ограниченные математические рассуждения того типа, который считают допустимым интуиционисты.
Однако вскоре К. Гёдель показал , что непротиворечивость арифметики невозможно доказать столь ограниченными средствами, если она действительно непротиворечива рамки настоящей статьи не позволяют нам изложить остроумный метод, с помощью которого был получен этот замечательный результат, и дальнейшую историю метаматематики.
Резюмируя с формалистской точки зрения сложившуюся проблемную ситуацию, мы должны признать, что она далека от завершения. Использование понятия множества ограничивалось оговорками, которые специально вводились чтобы избежать известных парадоксов, и нет никаких гарантий, что в аксиоматизированной теории множеств не возникнут новые парадоксы.
Тем не менее ограничения аксиоматической теории множеств не помешали рождению новых жизнеспособных теорий. Несмотря на заявления о независимости математики никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом.
Разумеется остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен.
Математика полезна при интерпретации явлений микромира. Однако новые «приложения» математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле.
Математические объекты, которые физики ставят в соответствие «атомным состояниям», или «переходам», носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики.
Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем.
Что же мы должны думать об оставшейся половине? Иначе говоря, какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем? Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем.
Другим примером может служить теорема, доказанная Ж. Лагранжем — Вряд ли найдется математик, который бы не назвал ее «важной» или «красивой». При существующем ныне положении вещей немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться при решении какой-нибудь экспериментальной задачи.
Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены они редко превышают несколько сотен ; следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть «полезна» только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы.
Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам.
Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако, в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер.
Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или по крайней мере ту ее часть, которая не имеет отношения к «реальности», как искусство. Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет «объективных» критериев, и они вынуждены полагаться на собственный «вкус».
Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и «школы». В настоящее время имеются три такие «школы», которые мы для удобства назовем «классицизмом», «модернизмом» и «абстракционизмом». Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем различные критерии, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем. Иначе говоря, для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудности, с которыми он столкнулся при его получении.
Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.
